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南方科技大学李才恒教授来到我校作专题讲座

—《数百年征程—5次方程求解和古希腊难题》

古希腊难题?5次方程求解?2018年12月6日,南方科技大学李才恒教授来到我校做题为《数百年征程—5次方程求解和古希腊难题》的专题讲座。

李才恒教授

李才恒,讲席教授,研究领域包括代数组合数学和置换群论。1997年毕业于西澳大利亚大学,获博士学位。1998年国际组合数学及其应用协会Kirkman奖章。曾任澳大利亚国家伊莉莎白二世研究员,美国Ohio州立大学终身教职,南开大学讲席教授(兼职),云南大学特聘教授(兼职),北京大学讲席教授,和西澳大学讲席教授,现为南方科技大学讲席教授。他在置换群论和代数图论方面做出了开创性的贡献,是国际学术带头人。先后解决了多个世界著名的重要问题,包括关于包含交换正则子群的本原置换群的100年老的Burnside问题。

李教授开始讲座

古希腊三大难题是什么?从问题出发,李教授带领学生们一起踏上了一次奇妙的数学之旅。古希腊三大难题是三个作图题,即只使用圆规和直尺求出下列问题的解:

立方倍积: 求作一立方体的边,使该立方体的体积为给定立方体的两倍。

化圆为方: 作一正方形,使其与一给定的圆面积相等。

三等分角: 分一个给定的任意角为三个相等的部分。

另一个同样古老的问题:只使用圆规和直尺能做出什么样的正多边形 ?

带着问题,李教授和同学们一起探讨了古希腊三大难题,整个过程有趣而又充满思辨。现在我们都知道用圆规和直尺能作出正多边形(n=2,3,4,5,6......),那么用直尺和圆规到底能做什么?

给出一个xy-平面P,和一个单位长1

可以用尺规作出P上的所有整数点;

然后,可以用尺规作出P上的所有有理点;

可以作出有理数的平方根;

可以作出已经作出的数的加、减、乘、除、平方根;

特别的,可以作出2次幂根;

反之,只能做出上述点。



注:以上图片来自李教授讲座PPT

但是,真正的立方根之类的数一般不能尺规作图,在19世纪初,法国数学家伽罗瓦首先证明了倍立方是不可能只用尺规作出的。1837年,法国数学家汪策尔终于给出三等分角的问题是尺规作图不可能解决的问题的证明。

注:上图为李教授PPT截图

1882年,德国数学家林德曼成功证明了圆周率是超越数,不可能用尺规作出,至此化圆为方的问题才最终得以解决。所以,古希腊三大问题和正多边形尺规作图问题都不是只用尺规作图就可以解决的。李教授讲到,我们搞学习研究不仅要证明一个东西可能,还要证明一个东西不可能。这是很有趣的!

同学们认真听讲

现在我们都可以用2次方程求根公式求出2次方程的解,那么3次方程,4次方程,5次方程的解又怎么求得呢?同学们又跟随李教授踏入求解高阶方程的数学世界中去了。

寻找3次方程的根公式解有一段很长的历史,这是16世纪欧洲数学较量中的一个重要问题。1545年数学家、物理学家卡尔丹诺给出了卡尔丹诺公式,解决了3次方程求解的问题。但是,我国南宋数学家秦九韶早在1247年就发现了一元三次方程的求根公式,比欧洲早了300多年。听到此处时,会场响起了热烈的掌声,同学们为此感到骄傲和自豪。卡尔丹诺公式只给出了3次方程的一个解,另外两个解直到200多年后才由数学家欧拉给出。对于4次方程求解,卡尔丹诺的学生费拉里给出了4次方程的一个解的求根公式。4次方程解的求根公式都找到后,数学大神们开始寻找5次方程解的求根公式,在之后的300多年时间里,拉格朗日,高斯等大数学家都耗费了巨大的精力试图解决这个问题。什么样的5次及其5次以上的方程有根公式求解法?1824年,挪威数学家阿贝尔22岁时证明了不存在解一般5次方程的根公式,这是开创性的!1830年,不到21岁的数学超级大神伽罗瓦彻底解决了“如何判定具体的代数方程是否可根式解?”的百年超级难题。1846年,也就是伽罗瓦死后14年,他的伟大研究成果才得以发表,其中首次引入了“群”的概念,并最终运用群论解决了这个世界难题。伽罗瓦研究了5次方程,在他眼里,不可分解的5次方程的5个根是对称的,从而引入了群的概念。接下来,李教授带领学生们一起领略了伽罗瓦是如何用“群论”来判定“5次方程是否可根式解”的过程。李教授的讲解深入浅出,学生们认真听讲,积极思考,使得同学们对“群”这个大学才接触的全新知识点的概念以及伽罗瓦的思想有了基本的了解。


同学们认真听讲

从古希腊三大难题,到5次方程求解;从2次方程求解,3次方程求解,4次方程求解到5次方程求解;从卡尔丹诺、秦九韶到拉格朗日、高斯再到阿贝尔、伽罗瓦。这是一次长达数百年的数学思想征程之旅,跟随着李才恒教授的步伐,同学们了解了一段历史,增长了见识,领略了数学和数学家的魅力。在李教授深入浅出的引领下,同学们获得了很好的思维训练,领悟了更多的数学思维方法。



陈冲贵老师主持讲座

讲座完成后,我校教务处副主任陈冲贵老师代表学校对李教授的精彩讲座表示感谢!陈老师总结到:李才恒教授结合高超的数学思想,以解方程为出发点,介绍了用求根公式解高阶方程的神秘历史。讲座中,我们深深感受到李教授对科研的深刻认识,对学科建设的深刻理解,对青少年学生的希望和鼓励,对家乡故土的感恩牵挂,使我们深深感受到了李教授作为世界级数学家高超的科研学术水平,谦逊低调而又乐观包容的人生态度,以及爱国爱家乡的高尚情怀。同时,也感谢李教授等伟大的数学家们用汗水和心血在数学领域所做出的的巨大贡献,他们的付出给我们建造了一个巨大的智慧宝藏。

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